01

三角形中常见辅助线的添加

1. 与角平分线有关的

（1） 可向两边作垂线。
（2）可作平行线，构造等腰三角形  
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形  

2. 与线段长度相关的

（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
 
3. 与等腰等边三角形相关的

（1）考虑三线合一  
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °

02
四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

（1） 利用一组对边平行且相等构造平行四边形 
（2）利用两组对边平行构造平行四边形 
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形

2. 与矩形有辅助线作法

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

3. 和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

（1）作菱形的高  
（2）连结菱形的对角线

4. 与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

5. 与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形 
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形  
（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形 
（4）延长两腰构成三角形 
（5）作两腰的平行线等

03
圆中常见辅助线的添加

1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：
①  利用垂径定理        
②  利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系        
③  利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量

2. 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点
作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4. 遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

作用：
①可得等腰三角形
②据圆周角的性质可得相等的圆周角

5. 遇到有切线时

常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）     
作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点   
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时 

（1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线

（2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 
作用：只需证OA⊥l，则l为切线

（3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

7. 遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点   
作用：据切线长及其它性质，可得到
①  角、线段的等量关系    
②  垂直关系
③  全等、相似三角形

8. 遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段   
作用：利用内心的性质，可得
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线
② 内心到三角形三条边的距离相等  

9. 遇到三角形的外接圆时

连结外心和各顶点    
作用：外心到三角形各顶点的距离相等

10. 遇到两圆外离时

（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用：
①利用切线的性质；
②利用解直角三角形的有关知识

11. 遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用：
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识         
②  利用圆内接四边形的性质       
③  利用两圆公共的圆周的性质        
④ 垂径定理

12. 遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线

作用：
①利用连心线性质         
②切线性质等

13. 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线       
作用：可利用连心线性质

14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

常常添加辅助圆
作用：以便利用圆的性质

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